黎曼猜想仍旧,素数依然孤独

“举世瞩目”这类事,在地球上注定日渐稀缺。世界越来越平,而作为个体的人类,则越来越平庸。

这就是为什么“黎曼猜想”将被验证的消息,在全球引起如此关注。

然而,伟大时刻并未降临。89岁的阿蒂亚没能创造奇迹。这不令人意外,历史上几乎没有人能在这个年龄,取得数学上的突破。

《新科学家》联系了许多数学家,请他们对阿蒂亚的证明发表评论,但他们都拒绝了。老人家近年来发表了许多论文,提出了令人瞩目的主张,但迄今未能说服他的同行。

就像牛顿后来沉迷于炼金术,爱因斯坦执着于统一场,阿蒂亚之所为,在很多人眼中仿佛一个笑话。

黎曼猜想仍旧,素数依然孤独

迈克尔·阿蒂亚爵士,被誉为当代最伟大的数学家之一。他拿过菲尔兹奖、科普利獎章、阿贝尔奖,拥有几乎所有的荣耀。他根本不需做任何事情来证明自己,相反,他的冒险破坏了一世英名的圆满。

阿蒂亚说: “我已得到自己所需的全部奖项, 还有什么可失去的? 这就是我为什么会冒年轻研究者不准备冒的险。”

不知怎么,我想起2011年,在以色列特拉维夫的街头,自己拍的下面这张照片:

黎曼猜想仍旧,素数依然孤独

海报上的五人,要求用自己换回被囚敌营中的年轻同胞。左边第一人,曾是以色列国防部长。此前他曾应我的地产开发公司(与犹太人合资)的邀请来过中国。

当时,我在微博上感慨:这绝非廉价的作秀。此时,X国的权势者还在图谋更大的权力、更多的财富、更嫩的女人,如八爪鱼般将触角伸向一切,拒绝为民族的未来做任何舍弃。–现在看这“感慨”真令人感慨。

我眼中的迈克尔·阿蒂亚爵士,正是这样的英雄。

在我们身边,甚至在我们的想象中,这样的人已经绝迹了。

另一方面,据蔡天新老师微博写道,2018年阿蒂亚结婚63年的妻子、最亲爱的弟弟相继去世;此前,他的长子和长媳、侄儿在徒步旅行时莫名死去。黎曼猜想对他而言是最大的精神安慰。

让我改写西蒙.辛格在《费马大定理》里的一段话:

“黎曼猜想”的故事与数学的历史有着千丝万缕的联系,触及到数论中所有重大的课题。它对于“是什么推动着数学发展”,或许更重要的“是什么激励着数学家们”提供了一个独特的见解。

“黎曼猜想”是一个充满勇气、欺诈、狡猾和悲惨的英雄传奇的核心,牵涉到数学王国中所有的最伟大的英雄。

当我将费马大定理换成黎曼猜想,原句几乎完全成立。

波恩哈德·黎曼,1872年出生于汉诺威王国一个贫困不堪的牧师家庭,性格羞涩并患有肺病。他一无所有,除了在数学领域的天赋。

与费马大定理不同,黎曼猜想很难用大众理解的表述来呈现。

黎曼猜想仍旧,素数依然孤独

作为数学中最著名的未决问题,黎曼假设有若干种等价的表达形式,其中一种涉及素数定理给出的估计的精度。高尔斯在《数学》(牛津通识读本)里介绍说,素数定理告诉我们在某数附近素数的近似密度。

素数是大于1且不能被其他整数——1和自身显然除外——整除的整数。自从古希腊时期以来,素数就一直困扰着数学家们,因为它们表面上多多少少是随机分布的,但又并非全然随机。从没有人找出一种简单的规则,能够告诉我们第 n个素数是多少。

和小素数比起来,大素数的出现越来越稀疏。但它们稀少到何种具体程度?如果你在 1 000 001和 1 010 000之间随机取一数,那么这个数有多大的机会是素数?换言之, 1 000 000附近的素数“密度”是多大?它是极其小还是仅仅比较小?

有许多关于素数的著名问题。

例如,哥德巴赫猜想断言,任意大于4的偶数都可以表示为两个奇素数之和。这个猜想看起来比维诺格拉多夫所解答的三素数猜想要难得多。

还有孪生素数猜想,它声称有无穷对相距为 2的素数,诸如17与19,137与 139,尽管越来越稀少。

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素数在自然数中的分布问题在纯粹数学和应用数学上都很重要。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。

1901年Helge von Koch指出,黎曼猜想与强条件的素数定理等价。现在已经验证了最初的1,500,000,000个素数对这个定理都成立。但是是否所有的解对此定理都成立,至今尚无人给出证明。

黎曼猜想所以被认为是当代数学中一个重要的问题,主要是因为很多深入和重要的数学和物理结果都能在它成立的大前提下得到证明。

黎曼猜想是20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题,也是克雷数学研究所悬赏100万美元的千禧年七大数学难题之一。

试图证明黎曼猜想的努力, 堪称是一场天才的盛宴(或绞杀场)。例如影片《美丽心灵》的主角、 美国数学家纳什,极可能是因为黎曼猜想而导致精神分裂症。

证明黎曼猜想有什么用吗?

按照我们的世俗标准,基本没用。

传说中的“区块链加密货币将被摧毁”,并不会发生。

目前加密货币市场上的加密货币,几乎都是由哈希运算函数和数字加密证书两方面构成的。

哈希算法和素数无关。加密算法,如果是椭圆曲线数字签名,和素数分解没有特别大的关系;如果是非对称加密,实际上是在做素数分解,和黎曼猜想的找素数关系不大。

因此,市场上的加密货币几乎不会受到太大影响,比如比特币使用的是专门经过修改的椭圆曲线加密,而其他虚拟货币使用的加密算法,几乎很少会使用RSA加密算法,有的则是会在RSA算法基础上再加一层加密算法,作双重保险。

所以,黎曼猜想对公钥密码没有直接的威胁,对区块链的安全也没有影响。

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有业内人士说:从应用角度来看,“黎曼猜想的命题是完整的,只要认为它为真就可以拿来用,而不需要一定等到‘证明了为真’才可以用。而且,从来没听说过针对任何领域的任何攻击方法里,黎曼定理起到了重要作用。”

《黎曼猜想漫谈》作者卢昌海说:

……并没有哪一种互联网加密方式是以黎曼猜想的不成立为前提, 从而会因黎曼猜想的成立而破灭的。 退一步说, 哪怕有这样的加密方式, 那它的破灭与否也只是依赖于黎曼猜想的成立与否, 而非证明与否——证明只是对破灭的确认, 并不缔造破灭的事实。

黎曼猜想被称为最重要的数学猜想, 原因是:

1. 它跟其它数学命题之间有着千丝万缕的联系。 在今天的数学文献中已经有一千条以上的数学命题是以黎曼猜想 (或其推广形式) 的成立为前提的。

2. 黎曼猜想与数论中的素数分布问题有着密切关系。 而数论是数学中一个极重要的传统分支, 被德国数学家高斯称为是 “数学的皇后”。 素数分布问题则又是数论中极重要的传统课题。

3. 一个数学猜想的重要性还有一个衡量标准, 那就是在研究该猜想的过程中能否产生出一些对数学的其它方面有贡献的结果。

4. 黎曼猜想的重要性甚至越出了纯数学的范围, 而 “侵入” 到了物理学的领地上。 20 世纪 70 年代初, 人们发现与黎曼猜想有关的某些研究, 居然跟某些非常复杂的物理现象有着显著关联。 这种关联的原因直到今天也还是一个谜。

“数学是上帝书写宇宙的语言 ! ”

现代科学发展的基石就是数学 ,甚至一门学科与数学联系的紧密程度可以代表该学科的发展水平 。

黄征在《数学沉思录》的序言里谈及:

“究竟什么是数学?”

  • 数学王国是一个独立存在于宇宙之中 ,我们仅仅只能窥视一角的真实世界 ?
  • 数学的发展可以视为人类一种纯粹的思维上的智力活动 ?

英国物理学家詹姆斯 ·琼斯曾指出 :

 “宇宙似乎是由一位理论数学家设计的 。”

数学似乎不仅是描述和解释整个宇宙最有效的工具 ,而且可以用来解释最复杂的人类活动 。

Livio写道:

今天 ,无论是物理学家试图创立一种关于宇宙的新理论 ,股票市场分析员苦苦思索以预测下一轮股市暴跌 ,神经生物学家构建大脑功能模型 ,还是军事情报专家优化各种军事资源配置 ,他们都要使用数学 。而且 ,即使他们在形式上发展出了数学的不同分支 ,在基础研究中他们依然需要求助于通用 、一致的数学基本理论 。

是什么赋予数学如此令人难以置信的力量 ?

正如爱因斯坦曾经惊叹的 :

 “数学 ,这个独立于人类经验存在的人类思维产物 ,怎么会如此完美地与物理现实中的物质相一致 ? ”

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诺贝尔物理学奖得主尤金 ·维格纳有同样的疑惑:

数学语言适于表达物理法则 ,这种神奇是上天赐予我们的绝妙礼物 。事实上我们并未真正理解这份礼物 ,同时也受之有愧 。我们应当感谢这份礼物 ,希望在未来的研究中它仍然有效 ,而且继续扩展以拓展人类认识 ,无论这是好是坏 ,也无论这带给我们的是欢乐还是困惑 。

著名的牛津数学物理学家罗杰 ·彭罗斯意识到 ,人类周围并不是仅有 1个世界 ,而应该有 3个神秘世界 :

1、意识感知的世界

这是我们所有精神影像的家园 ,包括我们看到自己孩子笑脸时的欢欣愉悦 、欣赏落日余晖壮美景色时的心旷神怡 ,或者观察怵目惊心的战争场面时的恐惧和憎恶 。在这个世界中还包括爱 、忌妒 、偏见 、害怕 ,以及我们欣赏音乐 、闻到美食时的感觉 。

2、物理现实的世界

就是我们日常所提到的物理现实世界 ,包括鲜花 、阿斯匹林药片 、白云 、喷气式飞机 ,还有星系 、行星 、原子 、狒狒的心脏 、人类的大脑 。

3、数学形式的柏拉图世界 

这里是数学的家园 ,有自然数 1 、 2 、 3 、 4 … … ,欧几里得几何学所有图形和定理 、牛顿运动定律 、弦论 、突变论 ,以及研究股票市场行为的数学模型等 。

彭罗斯还观察到了这 3个世界之间神秘相联的 3种现象 。

现象1:物理世界的运行似乎遵循着一定的法则 ,而这些法则真实存在于数学世界中 。

现象2:人类洞察性思维本身 ——我们主观认知能力的源泉 ——似乎来自于物理世界 。

现象3:这 3个世界神秘地联到一起 ,形成了一个闭合的圆 。通过发现或创造抽象的数学公式和概念 ,并将它们清晰地表达出来 ,洞察性思维才得以奇迹般地进入数学王国之中 。

例如,开普勒和牛顿发现了太阳系行星运行轨道是椭圆形的 ,而古希腊数学家门奈赫莫斯两千年前就已经研究过这个曲线了 。

又如,黎曼在 1 8 5 4年的一次经典演讲中概括了几门新兴几何学的主要内容 ,后来成为爱因斯坦解释宇宙结构时所必需的工具 。

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数学家丘成桐谈到:

黎曼还是第一位引入独立于欧氏几何的空间概念的学者。他用坐标来测量长度,面积和曲率等几何量。他希望这些值与坐标的选取无关,这叫做等效原理,是爱因斯坦后来用作推导他的场方程的一个基本假设。爱因斯坦受到黎曼工作的深刻影响。

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英国数学家哈代回忆印度数学家拉马努金时谈到,某次他去医院看望拉马努金,提到路上搭乘的出租车的车牌号为 1729,并无特殊之处。

拉马努金说:“你错了。实际上,这是能以两种方式表示为两数立方和的最小自然数。

昨天,在迈克尔·阿蒂亚爵士的演讲PPT里,出现了拉马努金。

2016年4月,著名投资人尤里·米尔纳在自己家中举行了一场小规模的晚宴,到场嘉宾包括Google CEO皮查伊、Google创始人布林、Facebook创始人兼CEO扎克伯格及其他数十位硅谷领袖。晚宴上,米尔纳放映了一部导演马修·布朗最新拍摄的传记体电影——《知无涯者》。影片讲述了印度传奇数学家拉马努金的一生。

据说,扎克伯格等人是红着眼眶走出来的。他们当即宣布将联手成立一项新基金,以致敬及纪念拉马努金。

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1913年1月31日,英国剑桥大学36岁的著名数学家G·H·哈代收到了一摞从印度寄来的手稿,并附介绍函一封:

尊敬的先生,谨自我介绍如下:

我是马德拉斯港务信托处的一名会计师,年薪不过20英镑……我在发散级数理论上取得了一些惊人的进展,破解了由来已久的素数分布问题……如果您认为我的定理有价值,我会将它们发表……我只是个无名小卒,您提出的任何建议都将为我所珍视。

冒昧打扰,还望见谅。

S·拉马努金敬启。

手稿里有莫名其妙、看似荒诞的公式。也有实验性质的数学研究方法论,更不乏整页整页的怪异公式:

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看完手稿,以为遇到骗子的哈代惊呼:“这些定理彻底把我打败了,真是见所未见,闻所未闻!”

哈代认为这些定理“一定是成立的,因为没有哪个人类的想象力可以强大到凭空把它们造出来。”

当时他们还不知道,这个印度穷小子拉马努金连正规的高等数学教育都没受过。

据DeepTech深科技报道:阿蒂亚爵士提出了对黎曼猜想证明方法的一个简单思路。其灵感来源于他提出精细结构常数的推演,这是一个物理学上长期存在的数学问题。这一推演过程结合了冯·诺依曼的算子理论及希策布鲁赫创立并证明的代数簇黎曼-罗赫定理,还应用了Todd函数参与计算,而这个函数将是证明黎曼猜想的核心。

一些学者对他的推演过程存疑,同样,也有学者对此次黎曼猜想的证明过程质疑。有一些学者认为,阿蒂亚爵士的思路或为后续黎曼猜想证明提供了一种新思路。

阿蒂亚爵士并未做出证明的全部工作,其思路基于一个物理上未被完全证明的常数,

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阿蒂亚爵士曾表示:“为什么这么老了仍做研究?因为自己受一种从未离开过自己的激情所驱使,我已从事数学研究 70 年, 我无法停下。”

在演讲的最后,阿蒂亚向数学界的后辈们提出了四点建议。

1. 要运用如今最强大的工具,这里的工具不仅限于数学工具,还包括超级计算机甚至是量子计算机,还有其他领域例如物理学界、逻辑学界等的工具;

2. 借鉴其他著名猜想,不管是证明了的还是未证明的;

3. 需要判断哪些难题是能够高效率完成计算的;

4. RH(黎曼假设)已经是很难的一个猜想了,证明出其一部分就已经很了不起了,希望数学界的后辈们能权衡一下,哪些黎曼猜想的方面是我们有时间完成的,做出决定就无悔地去做吧!

中国人对自己的“数学好”,有迷之自信。事实上,我家两个在加拿大接受教育的孩子,对比国内同龄小学生,在数学上的进度确实有差距。中国的奥数似乎很厉害,中国孩子花在做数学题上的平均时间,可能也是世界领先。

但为什么我们极少出数学家?如果没记错的话,这些年似乎只涌现了一位流落美国的张益唐。

这个话题极为庞大,我想借Livio之笔,简单谈及如下:

数学发展的这幅素描,尽管简略,但却表明数学的生命力正是根植于养育她的文明的社会生活之中。

……

由于古希腊数学家强调严密的推理以及由此得出的结论,因此他们所关心的并不是这些成果的实用性,而是教育人们去进行抽象的推理,和激发人们对理想与美的追求

因此,看到这个时代具有后世很难超越的优美文学,极端理性化的哲学,以及理想化的建筑与雕刻,也就不足为奇了。

公元前 221年被突然闯入的罗马士兵杀害了,当时大师在研究画在沙盘中的几何图形。对此, A· N·怀特海说过:

阿基米德死于一个罗马士兵之手,是世界发生头等重要变化的一个标志:爱好抽象科学、擅长推理的古希腊在欧洲的霸主地位,被重实用的罗马取代了。

L·比肯斯菲尔德( Lord Beaconsfield)在他的一部小说中,曾把重实用的人称为重复其先辈错误的人

罗马是一个伟大的民族,但是他们却由于只重实用导致了创造性的缺乏而受到了人们的指责。他们没有发展其祖先的知识,他们所有的进步都局限于工程技术的细枝末节。

他们并不是那种能够提出新观点的梦想家,这些新观点能给人以更好地主宰自然界的力量。没有一个罗马人因为沉湎于数学图形而丧命

当然,另外一方面,西塞罗则夸耀自己的同胞,不是像希腊人一样的梦想家,而是把他们的数学研究派上实际用场的人。

Livio继续写道:

注重实用的罗马帝国,将其精力用于权术和征服外邦。为迎接军队胜利归来的拱形的凯旋门,也许是罗马帝国的最好象征,但它们不是显得优雅得体,而是显得毫无生气。

罗马最突出的特征也许是麻木不仁,罗马人几乎没有真正的独创精神

最后

哈代说:即使埃斯库罗斯被人们遗忘了,阿基米德仍会被人们记住,因为语言文字会消亡而数学概念却不会。“不朽”可能是个缺乏理智的用词,但是或许数学家最有机会享用它,无论它意味着什么。

不朽,与我等凡人无关。

但,数学与这个物理世界一起,是上帝庇护我们的工具。

我从来不是一个好学生,成年后倒是热衷于做题,在朋友圈里以解题快著称。这个爱好对我投资、做公司,未必有何裨益,但有助于我在偶尔给孩子辅导数学时找到乐趣。

意大利粒子物理学博士保罗·乔尔达诺,曾经写过一本《质数的孤独》:

马蒂亚是一个年轻的数学天才,他相信自己是质数中的一个,而中学同学爱丽丝正是他的孪生质数。他们都有痛苦的过往,同样孤独,同样无法拉近和其他人之间的距离。

从少年到成年,他们的生命不断交叉,努力消除存在于彼此间障碍,相互影响又彼此分离,就像孪生质数,彼此相近却永远无法靠近。

(这里的孪生质数,就是前面提过的孪生素数。广泛来说,质数就是素数。)

人类在宇宙间是无尽孤独的。但我总觉得,这是上帝为我们设计的最佳游戏。

假如素数的分布不是那么神秘,假如没有黎曼们的孤独探索,假如没有阿蒂亚的勇战风车,假如没有这类对意义和公式的追求,人类可能早被虚无的黑洞吞没了。

加缪在《西西弗斯神话》中阐释了自己的荒谬哲学,即人在面对一个没有上帝以及永恒的真理或价值的世界时对意义、统一性以及明晰性的无益探求。

书中最后一章,对人们生活的荒谬性与反复推石头上山的西西弗斯的状况进行了比较。

在书的最后,作者总结性地说:

“迈向高处的挣扎足够填充一个人的心灵。人们应当想象西西弗斯是快乐的。”

综合来源:本文来源: 孤独大脑等,并经编辑适当修订。

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